ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)

 

1.    ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)

นิยาม   คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือ เซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a Î A  และ b Î B

2.  ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ

2.1  ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน

    2.2  คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B  หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณ

                 คาร์ทีเชียน

3.  โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)

ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์

โดเมนของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ

เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ

4.  ฟังก์ชัน (Function)  คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี

สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้

5.  การตรวจสอบความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่

1.    ลากเส้นขนานกับแกน y ตัดกราฟความสัมพันธ์ ได้ 1 จุดเป็นฟังก์ชัน

แต่ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน

2.    ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า  กำหนดให้ (a , b) Î r และ (a , c) Îr ดังภาพ

a    --->    b

     ---->   c

                เราสามารถสรุปได้ว่า b = c ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน

6.  ฟังก์ชันจาก A ไป B    ถ้ากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

        มีเงื่อนไข Df  =  A

7.  ฟังก์ชัน 1 - 1 ( One - to - one function )

        เป็นฟังก์ชันแบบ 1 - 1  ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์

กับสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น

การตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน แบบ 1-1 หรือไม่ โดย

1.    ลากเส้นขนานกับแนวแกน x ตัดกราฟฟังก์ชัน 1 จุด เป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

2.  ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า  กำหนดให้ (a , c) Î f และ (b , c) Îf ดังภาพ

a ----> c      

b ----> c

        เราสามารถสรุปได้ว่า a = b ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันแบบ1-1

 

8.               ฟังก์ชันไปทั่วถึง(onto function)

ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B         จะเรียก f  ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B  ก็ต่อเมื่อ Rf = B

9.  พีชคณิตของฟังก์ชัน คือ การนำฟังก์ชันมา บวก  ลบ  คูณ  และหารกัน  

     1. (f+g)(x)=f(x)+g(x)   , D_f+g = D_f ^ D_g

     2. (f-g)(x) =f(x)-g(x)   , D_f-g = D_f ^ D_g

     3. (f.g)(x)=f(x).g(x)   , D_f.g = D_f ^ D_g

     4. (f/g)(x)=f(x)/g(x)   , D_f/g = D_f ^ D_g – {x l g(x)= 0 }

 

10.  อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f^-1)

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์สของ r เขียนแทนด้วย r^-1 ก็จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

        r = {(x,y)    xÎA, yÎB }->r^-1 = {(y,x)    (x,y)Îr }

       

การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f^-1)

(1)          ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x

(2)          พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x)

(3)          y ตัวนี้คือ f^-1  นั่นเอง

กรณีเขียนเป็นรูปคู่อันดับ การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f^-1) ทำได้โดย

ถ้า f = {(a,1),(b,2),(c,3)}

ดังนั้น f^-1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}

11.ฟังก์ชันคอมโพสิท(composite function) เป็นการกระทำตั้งแต่ฟังก์ชัน

        2 ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน

        ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

        ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C

        เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย

        gof(x) = gf(x)

        จะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g

 

1. ถ้า 3x²-13x+4 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 3x³-ax²-bx-8 ค่าของ a+b ตรงกับข้อใด

                ก. -49                      ข. -11                      ค. 11                        ง.49

วิธีทำ       ให้ P(x) = 3x³-ax²-bx-8

            จากโจทย์ 3x²-13x+4 เป็นตัวประกอบของ P(x)

                        กำหนดสมการ                                        P(x) = 0

                                                         3x³-ax²-bx-8   = 0    ----(1)

                                                (3x²-13x+4)(Ax+B)  = 0

                                                (3x-1)(x-4) (Ax+B) = 0   ----(2)

            จาก (2) พบว่าคำตอบของสมการคือ x = 1/3 , 4

            ดังนั้นแทน x = 1/3 ใน (1) จะได้ P(1/3) = 0

                                                 3(1/3)³-a(1/3)²-b(1/3)-8   = 0

                                                1/9 + a/9 + b/3 – 8           = 0

                                                            a+3b              = 71 -----(3)

            และแทน x = 4 ใน (1) จะได้ P(4) = 0

                                                3(4)³-a(4)²-b(4)-8   = 0

                                                192 + 16a + 4b – 8           = 0

                                                            4a+b              = -46 -----(4)

            แก้สมการ (3) , (4) จะได้ a = -19  , b=30

            ดังนั้น a+b = 11

            ตอบ ค.

 

2. สัมประสิทธิ์ x^r ในการกระจาย (x² + 1/x)²ⁿ คือข้อใดต่อไปนี้

                ก. [(2n)!] / [((2n+r)/3)!((4n-r)/3)!]

         ข. (2n)! / ((4n-r)/3)!

                ค. [(2n)!] / [r!(2n-r)!]

                ง. [(2n)!] / [2r!]

วิธีทำ จากสูตร         T_k+1= (nCk)( a^n-k_b^k)

            จากการกระจาย (x² + 1/x)²ⁿ จะได้ว่า

                                T_k+1= (2nCk)( x²)^n-k_(1/x)^k

            ดังนั้น 4n – 2k – k  = r

                                    k = (4n-r)/3

            ดังนั้นสัมประสิทธิ์ x^r คือ  [2nC((4n-r)/3)]

                                       =  [(2n)!] / [((4n-r)/3)!(2n – ((4n-r)/3)!]

                                      = [(2n)!] / [((2n+r)